वृत्त

अवधारणा समझें

वृत्त की स्पर्श रेखा वृत्त को एक बिंदु पर छूती है। स्पर्श बिंदु से केंद्र तक खींची त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है। किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। आधिकारिक पाठ्यक्रम स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से त्रिज्या पर लंबता और बाहरी बिंदु से खींची स्पर्श रेखाओं की समान लंबाई शामिल करता है।

याद रखने योग्य बातें

• यदि PT, केंद्र O वाले वृत्त की P पर स्पर्श रेखा है, तो OP⊥PT।
• बाहरी बिंदु P से स्पर्श बिंदु A और B तक PA=PB।
• एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

पूरा हल किया उदाहरण

प्रश्न: केंद्र O से बाहरी बिंदु P की दूरी 13 cm और त्रिज्या 5 cm है। स्पर्श रेखा PT की लंबाई ज्ञात कीजिए।

1. स्पर्श बिंदु T पर OT⊥PT, इसलिए OPT समकोण त्रिभुज है।
2. पाइथागोरस से OP²=OT²+PT²।
3. PT²=13²−5²=169−25=144, अतः PT=12 (लंबाई धनात्मक)।

उत्तर: PT=12 cm।

इन गलतियों से बचें

• त्रिज्या और स्पर्श रेखा को लंब मानने के बजाय समांतर समझना।
• पाइथागोरस में कर्ण OP के वर्ग को घटाने के बजाय जोड़ना।

आधिकारिक स्रोत

• UPMSP कक्षा 10 गणित पाठ्यक्रम 2026–27 (आधिकारिक) ↗